题目内容
【题目】已知直线被圆
所截得的弦长为8.
(1)求圆的方程;
(2)若直线与圆
切于点
,当直线
与
轴正半轴,
轴正半轴围成的三角形面积最小时,求点
的坐标.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
试题分析:(1)利用点到直线的距离公式求出圆心到弦所在直线的距离,再利用弦长公式求出圆的半径即可求解;(2)设出直线和圆的切点,求出切点坐标和切线方程,求出切线方程和坐标轴的交点坐标,利用直角三角形的面积公式得到表达式,再利用基本不等式求其最值.
试题解析:(1)因为圆的圆心到直线
的距离为
,………………1分
所以.………………2分
所以圆的方程
.………………3分
(2)设直线与圆
切于点
,
则.………………4分
因为,所以圆的切线的斜率为
.………………5分
则切线方程为,即
.………………6分
则直线与
轴正半轴的交点坐标为
,与
轴正半轴的交点坐标为
.
所以围成的三角形面积为.………………9分
因为,所以
.
当且仅当时,等号成立.………………10分
因为,
,所以
,
所以.
所以当时,
取得最小值18.………………11分
所以所求切点的坐标为
.………………12分
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