Question

【题目】已知圆经过点，圆的圆心在圆的内部，且直线被圆所截得的弦长为.点为圆上异于的任意一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点.

（1）求圆的方程；

（2）求证: 为定值；

（3）当取得最大值时，求．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）．

【解析】

试题分析：（1）首先根据条件设出圆心及半径，然后利用弦长公式求得半径，再利用点到直线的距离公式求得圆心，从而求得圆的方程；（2）直线的斜率不存在可直接求出定值，直线与直线的斜率存在时，设点，由此得到直线的方程与的方程，从而求得点的坐标，进而利用向量数量积公式求出定值；（3）首先求得关于的表达式，然后根据直线与圆位置关系求得的值．

试题解析：（1） 易知点在线段的中垂线上，故可设,圆的半径为

∵直线被圆所截得的弦长为，且

∴到直线 的距离,或.

又圆的圆心在圆的内部，

,圆的方程.

（2）证明: 当直线的斜率不存在时,.

当直线与直线的斜率存在时，设,直线的方程为．

令得.直线的方程为．

令得.

,

故 为定值为．

（3）解:

设,易知当直线与圆切于第三象限时，取得最小值，

此时， 此时，，故.