Question

在△ABC中，三内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，若a，b，c是公差为正数的等差数列，且sinB=

7

4

，则cosA-cosC=

 

．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：三角函数的求值

分析：由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简得到①，设设cosA-cosC=x，②，①²+②²，得到③，由a，b，c的大小判断出A，B，C的大小，确定出cosA大于cosC，利用诱导公式求出cos（A+C）的值，代入③求出x的值，即可确定出cosA-cosC的值．

解答： 解∵a，b，c成等差数列，
∴2b=a+c，
由正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC，即sinA+sinC=

7

2

，①
设cosA-cosC=x，②
①²+②²，得2-2cos（A+C）=

7

4

+x²，③
又a＜b＜c，A＜B＜C，
∴0＜B＜90°，cosA＞cosC，
∴cos（A+C）=-cosB=-

3

4

，
代入③式得x²=

7

4

，
则cosA-cosC=

7

2

．
故答案为：

7

2

．

点评：此题考查了正弦定理，等差数列的性质，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于中档题．