题目内容
已知函数f（x）=lnx+x2-ax（a为常数）．
（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；
（2）若对任意的a∈（1，2）存在x0∈[1，2]，使不等式f（x0）＞mlna恒成立，求实数m的取值范围．
（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；
（2）若对任意的a∈（1，2）存在x0∈[1，2]，使不等式f（x0）＞mlna恒成立，求实数m的取值范围．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的极值
专题：计算题,导数的综合应用
分析：求导f′（x）=
+2x-a，
（1）由题意得，f′（1）=1+2-a=0从而解得a=3，检验即可；
（2）当a∈（1，2），f′（x）=
＞0，故f（x）在（0，+∞）上是增函数，求最大值，化对任意的a∈（1，2）存在x0∈[1，2]，使不等式f（x0）＞mlna恒成立为对任意的a∈（1，2），不等式ln2+4-2a＞mlna恒成立；从而得m＜
恒成立，令g（a）=
，（1＜a＜2）；求函数的最小值即可．
| 1 |
| x |
（1）由题意得，f′（1）=1+2-a=0从而解得a=3，检验即可；
（2）当a∈（1，2），f′（x）=
2(x-
| ||||
| x |
| 4+ln2-2a |
| lna |
| 4+ln2-2a |
| lna |
解答：
解：f′（x）=
+2x-a，
（1）由题意得，f′（1）=1+2-a=0，
解得，a=3；
经检验，x=1是函数f（x）的一个极小值点；
（2）当a∈（1，2），f′（x）=
＞0，
故f（x）在（0，+∞）上是增函数，
故f（x）在[1，2]上的最大值为f（2）=ln2+4-2a；
故对任意的a∈（1，2）存在x0∈[1，2]，使不等式f（x0）＞mlna恒成立可化为
对任意的a∈（1，2），不等式ln2+4-2a＞mlna恒成立；
即m＜
恒成立；
令g（a）=
，（1＜a＜2）；
则g′（a）=
，
令M（a）=-2alna+2a-4-ln2，
则M′（a）=-2lna＜0，
则M（a）在（1，2）上是减函数，
M（a）＜M（1）=2-4-ln2＜0，
故g′（a）＜0；
则g（a）=
在（1，2）上是减函数，
故m≤g（2）=1，
故实数m的取值范围为：m≤1．
| 1 |
| x |
（1）由题意得，f′（1）=1+2-a=0，
解得，a=3；
经检验，x=1是函数f（x）的一个极小值点；
（2）当a∈（1，2），f′（x）=
2(x-
| ||||
| x |
故f（x）在（0，+∞）上是增函数，
故f（x）在[1，2]上的最大值为f（2）=ln2+4-2a；
故对任意的a∈（1，2）存在x0∈[1，2]，使不等式f（x0）＞mlna恒成立可化为
对任意的a∈（1，2），不等式ln2+4-2a＞mlna恒成立；
即m＜
| 4+ln2-2a |
| lna |
令g（a）=
| 4+ln2-2a |
| lna |
则g′（a）=
| -2alna+2a-4-ln2 |
| aln2a |
令M（a）=-2alna+2a-4-ln2，
则M′（a）=-2lna＜0，
则M（a）在（1，2）上是减函数，
M（a）＜M（1）=2-4-ln2＜0，
故g′（a）＜0；
则g（a）=
| 4+ln2-2a |
| lna |
故m≤g（2）=1，
故实数m的取值范围为：m≤1．
点评：本题考查了导数的综合应用，同时考查了恒成立问题，属于难题．
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