题目内容

【题目】如图,在三棱柱中, ,顶点在底面 上的射影恰为点 ,且.

1)求棱 所成的角的大小;

2)在棱 上确定一点,使,并求出二面角的平面角的余弦值.

【答案】12

【解析】试题分析:根据题意建立如图所示的空间直角坐标系,(1)求出,所在直线的向量,利用向量的夹角公式即可求出结果,再根据异面直线成角的范围,即可求出结果;(2)平面和平面的法向量分别为mn,即可求出二面角的平面角的余弦值.

试题解析:解(1)建立如图所示的空间直角坐标系,

C0, 2, 0),B2, 0 , 0),A10,2, 2),B14, 0 , 2).从而, =(0,2, 2),=(-2, 2, 0).

的夹角为θ,则有

又由异面直线AA1BC所成角的范围为(0π),可得异面直线AA1BC所成的角

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2)记平面和平面的法向量分别为mn,则由题设可令m=(x, y, z),且有平面的法向量为n=(0,2,0).

=(-2λ, 2λ, 0),则P42λ, 2λ, 2).

于是AP,解得λλ

又题设可知λ0, 1),则λ舍去,故有λ

从而,P为棱的中点,则坐标为P3, 1, 2).

由平面PAB的法向量为m,故mm

0,即(x, y, z·3, 1 ,2)=0,解得3xy2z0

0,即(x, y, z·(-1,1,2)=0,解得-xy2z0

解方程可得,x0y2z0,令y=-2z1

则有m=(0,2, 1) .

记平面PAB和平面ABA1所成的角为β

cosβ

故二面角的平面角的余弦值是

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练习册系列答案
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