题目内容
【题目】如图,在三棱柱中, ,顶点在底面 上的射影恰为点 ,且.
(1)求棱 与所成的角的大小;
(2)在棱 上确定一点,使,并求出二面角的平面角的余弦值.
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析:根据题意建立如图所示的空间直角坐标系,(1)求出与,所在直线的向量,利用向量的夹角公式即可求出结果,再根据异面直线成角的范围,即可求出结果;(2)平面和平面的法向量分别为m和n,即可求出二面角的平面角的余弦值.
试题解析:解(1)建立如图所示的空间直角坐标系,
则C(0, 2, 0),B(2, 0 , 0),A1(0,-2, 2),B1(4, 0 , 2).从而, =(0,-2, 2),=(-2, 2, 0).
记与的夹角为θ,则有.
又由异面直线AA1与BC所成角的范围为(0,π),可得异面直线AA1与BC所成的角
为60. 4分
(2)记平面和平面的法向量分别为m和n,则由题设可令m=(x, y, z),且有平面的法向量为n=(0,2,0).
设=(-2λ, 2λ, 0),则P(4-2λ, 2λ, 2).
于是AP=,解得λ=或λ=.
又题设可知λ∈(0, 1),则λ=舍去,故有λ=.
从而,P为棱的中点,则坐标为P(3, 1, 2).
由平面PAB的法向量为m,故m⊥且m⊥.
由m·=0,即(x, y, z)·(3, 1 ,2)=0,解得3x+y+2z=0; ①
由m·=0,即(x, y, z)·(-1,-1,-2)=0,解得-x-y-2z=0,②
解方程①、②可得,x=0,y+2z=0,令y=-2,z=1,
则有m=(0,-2, 1) .
记平面PAB和平面ABA1所成的角为β,
则cosβ==
故二面角的平面角的余弦值是.