题目内容
【题目】中心在原点,焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1,F2,且|F1F2|=,椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4,离心率之比为3∶7.
(1)求这两曲线的方程;
(2)若P为这两曲线的一个交点,求cos∠F1PF2的值.
【答案】(1)和
;(2)
【解析】试题分析:(1)设椭圆长、短半轴长分别为,双曲线半实、虚轴长分别为
,列出
,解出参数的值,即可得出椭圆与双曲线的方程;(2)不妨设
分别为左、右焦点,
是第一象限的一个交点,则
,
,再利用余弦定理得出
,求值即可.
试题解析:(1)由题意知,半焦距,设椭圆长半轴为
,则双曲线实半轴
,离心率之比为
,∴
,∴椭圆的短半轴等于
,双曲线虚半轴的长为
,∴椭圆和双曲线的方程分别为:
和
.
(2)由椭圆的定义得: ,由双曲线的定义得:
,∴
与
中,一个是10,另一个是 4,不妨令
,
,又
,三角形
中,利用余弦定理得:
,∴
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