题目内容
【题目】如图椭圆的上下顶点为A、B,直线
:
,点P是椭圆上异于点A、B的任意一点,连结AP并延长交直线
于点N,连结BP并延长交直线
于点M,设AP、BP所在直线的斜率分别为
,若椭圆的离心率为
,且过点
,(1)求
的值,并求
最小值;(2)随着点P的变化,以MN为直径的圆是否恒过定点,若过定点,求出该定点坐标;若不过定点,请说明理由。
【答案】(1),
的最小值为
(2)
【解析】试题分析:(1)由题意可知,又
,解出
得到椭圆方程,设椭圆上点
,代入椭圆方程,再由斜率公式,即可得到
的值,设
,求出
,再由基本不等式求出
的最小值;(2)设
,则以
为直径的圆的方程为
,化简整理,若圆过定点,则有
,化简整理,若圆过定点,则有
,解出即可判断.
试题解析:(1)因为,所以此椭圆的方程是
;
设点P的坐标为,有
,所以
,
设,则
,可得
;
不妨设,则
,所以当且仅当
时,
的最小值为
;
(2)因为,则以M、N为直径的圆的方程为
,即
,因圆过定点,则有
,解得
,即定点为
.
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