题目内容
19．已知直线l：x-y+m=0与椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y2=1交于不同的两点A，B，且线段AB的中点不在圆x2+y2=$\frac{5}{9}$内，则m的取值范围为（ ）| A． | m≥1或m≤-1 | B． | -$\sqrt{3}$≤m≤-1或1≤≤m≤$\sqrt{3}$ | C． | -1≤m≤1 | D． | -$\sqrt{3}$＜m≤-1或1≤m＜$\sqrt{3}$ |
分析 直线x-y+m=0与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点，联立直线和椭圆的方程，消元，得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理求得AB的中点坐标，再根据该点不在圆内，得到该点到圆心的距离≥半径，求得m的取值范围．
解答 解：联立方程$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\\{x-y+m=0}\end{array}\right.$，消去y整理得：3x2+4mx+2m2-2=0，
则△=16m2-12（2m2-2）=8（-m2+3）＞0，解得-$\sqrt{3}$＜m＜$\sqrt{3}$，①
x1+x2=-$\frac{4m}{3}$，
y1+y2=x1+x2+2m=$\frac{2m}{3}$，
即AB的中点为（-$\frac{2m}{3}$，$\frac{1}{3}$m），
又∵线段AB的中点不在圆x2+y2=$\frac{5}{9}$内，
∴$\frac{4{m}^{2}}{9}$+$\frac{{m}^{2}}{9}$≥$\frac{5}{9}$，
解得，m≤-1或m≥1，②
由①②得：-$\sqrt{3}$＜m≤-1或1≤m＜$\sqrt{3}$．
故选D．
点评 本题主要考查直线与圆锥曲线等基础知识，考查数形结合的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力，直线与圆锥曲线相交问题，易忽视△＞0，属中档题．
练习册系列答案
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9．椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的四个顶点按逆时针排列顺序依次为A，B，C，D，若四边形ABCD的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率e2为（ ）
| A． | $\frac{{3-\sqrt{5}}}{2}$ | B． | $\frac{{3+\sqrt{5}}}{8}$ | C． | $\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$ | D． | $\frac{{1+\sqrt{5}}}{8}$ |
7．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率为（ ）
| A． | $\frac{1}{2}$ | B． | $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ | C． | $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ | D． | $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ |
如图过椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，若点M在x轴上，且使得MF为△AMB的一条内角平分线，则称点M为该椭圆的“左特征点”，则椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的“左特征点”M的坐标为（ ）