题目内容
11.如图过椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0)的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB,若点M在x轴上,且使得MF为△AMB的一条内角平分线,则称点M为该椭圆的“左特征点”,则椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的“左特征点”M的坐标为( )A. | (-2,0) | B. | (-3,0) | C. | (-4,0) | D. | (-5,0) |
分析 设M(m,0)为椭圆的左特征点,根据椭圆左焦点,设直线AB方程代入椭圆方程,由∠AMB被x轴平分,kAM+kBM=0,利用韦达定理,即可求得结论.
解答 解:设M(m,0)为椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左特征点,椭圆的左焦点F(-1,0),
可设直线AB的方程为x=ky-1(k≠0)
代入$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1得:3(ky-1)2+4y2=12,即(3k2+4)y2-6ky-9=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2)得y1+y2=$\frac{6k}{3{k}^{2}+4}$,y1y2=-$\frac{9}{3{k}^{2}+4}$
∵∠AMB被x轴平分,kAM+kBM=0,即$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-m}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-m}=0$,
即y1(ky2-1)+y2(ky1-1)-(y1+y2)m=0
∴2ky1y2-(y1+y2)(m+1)=0
于是,2k×(-$\frac{9}{3{k}^{2}+4}$)-$\frac{6k}{3{k}^{2}+4}$×(m+1)=0
∵k≠0,∴-18-6(m+1)=0,即m=-4,∴M(-4,0).
故选:C.
点评 本题以新定义为载体主要考查了椭圆性质的应用,直线与椭圆相交关系的处理,要注意解题中直线AB得方程设为x=ky-2(k≠0)的好处在于避免讨论直线的斜率是否存在.
练习册系列答案
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A. | m≥1或m≤-1 | B. | -$\sqrt{3}$≤m≤-1或1≤≤m≤$\sqrt{3}$ | C. | -1≤m≤1 | D. | -$\sqrt{3}$<m≤-1或1≤m<$\sqrt{3}$ |
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A. | $\frac{1}{3}$ | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | D. | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ |
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A. | 2 | B. | 3 | C. | 6 | D. | 9 |