题目内容

9.如图,平行四边形ABCD中,E是DC的中点,AE交BD于M,试用向量的方法证明,M是BD的一个三等分点.

分析 将$\overrightarrow{BM}$两次表示,利用向量分解定理,即可得出结论.

解答 证明:设$\overrightarrow{BM}$=t$\overrightarrow{BD}$,∵$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{AD}$,∴$\overrightarrow{BM}$=t$\overrightarrow{BA}$+t$\overrightarrow{BC}$.
又∵$\overrightarrow{BM}$=k$\overrightarrow{BA}$+(1-k)$\overrightarrow{BE}$=k$\overrightarrow{BA}$+(1-k)$\overrightarrow{BC}$+$\frac{1}{2}$(1-k)$\overrightarrow{CD}$
=$\frac{1}{2}$(1+k)$\overrightarrow{BA}$+(1-k)$\overrightarrow{BC}$.
由向量分解定理,$\overrightarrow{BM}$的表示是唯一的,
∴t=$\frac{1}{2}$(1+k)且t=1-k,解得:t=$\frac{2}{3}$,即M是BD的一个三等分点.

点评 本题考查向量分解定理,考查学生的计算能力,正确表示向量是关键.

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