椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y2=1的内接正方形面积是$\frac{8}{3}$．题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

14．椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的内接正方形面积是$\frac{8}{3}$．

分析联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解出即可得出．

解答解：联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得${x}^{2}={y}^{2}=\frac{2}{3}$．
∴椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的内接正方形面积S=4x²=$\frac{8}{3}$．
故答案为：$\frac{8}{3}$．

点评本题考查了椭圆的性质、正方形的面积及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的右顶点为A，两焦点坐标分别为（-$\sqrt{3}$，0）和（$\sqrt{3}$，0），且经过点（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）．过点O的直线交椭圆C于M、N两点，直线AM、AN分别交y轴于P、Q两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{MA}$，且$\overrightarrow{MN}$⊥$\overrightarrow{MA}$，求实数λ的值；
（3）以线段PQ为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．

5．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b＞0）的一个焦点为（2，0），则椭圆的短轴长为（　　）

2．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的$\sqrt{3}$倍，且经过点（$\sqrt{3}$，1），O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点M（0，2），直线l经过M与椭圆相交于A、B两点，若S_△ABO=$\sqrt{3}$，直线l的方程．

9．已知椭圆的左焦点为F₁，右焦点为F₂．若椭圆上存在一点P，满足线段PF₂相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF₂的中点，则该椭圆的离心率为（　　）

$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$

$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$

$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$

19．已知直线l：x-y+m=0与椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1交于不同的两点A，B，且线段AB的中点不在圆x²+y²=$\frac{5}{9}$内，则m的取值范围为（　　）

-$\sqrt{3}$≤m≤-1或1≤≤m≤$\sqrt{3}$

-$\sqrt{3}$＜m≤-1或1≤m＜$\sqrt{3}$

6．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P，若$\overrightarrow{AP}$=$\sqrt{2}$$\overrightarrow{PB}$，则椭圆的离心率是（　　）

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

3．已知椭圆W：$\frac{x^2}{4}$+y²=1，直线l过点（0，-2）与椭圆W交于两点A，B，O为坐标原点．
（Ⅰ）设C为AB的中点，当直线l的斜率为$\frac{3}{2}$时，求线段OC的长；
（Ⅱ）当△OAB面积等于1时，求直线l的斜率．

己知C是半径为1、圆心角为60°的圆弧上的动点，如图，若$\overrightarrow{OC}$=x$\overline{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，其中x，y∈R，则x+y的最大值是（　　）

$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

$\frac{\sqrt{3}}{2}$