题目内容
如图，圆O与离心率为
的椭圆T：
+
=1（a＞b＞0）相切于点M（0，1）．
（1）求椭圆T与圆O的方程；
（2）过点M引两条互相垂直的两直线l1、l2与两曲线分别交于点A、C与点B、D（均不重合）．
①若P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为d1、d2，求
+
的最大值；
②若3
•
=4
•
，求l1与l2的方程．
| ||
| 2 |
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（1）求椭圆T与圆O的方程；
（2）过点M引两条互相垂直的两直线l1、l2与两曲线分别交于点A、C与点B、D（均不重合）．
①若P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为d1、d2，求
| d | 21 |
| d | 22 |
②若3
| MA |
| MC |
| MB |
| MD |
（1）由题意知：
=
，b=1．
又a2=b2+c2，所以a2=c2+1，
联立
，解得a=2，c=
所以椭圆C的方程为
+y2=1．圆O的方程x2+y2=1；
（2）①设P（x0，y0）因为l1⊥l2，则d12+d22=PM2=x02+(y0-1)2，
因为
+
=1，所以d12+d22=4-4y02+(y0-1)2=-3(y0+
)2+
，
因为-1≤y0≤1，所以当y0=
时，
+
取得最大值为
，此时点P(±
，
)．
②设l1的方程为y=kx+1，
由
，得：（k2+1）x2+2kx=0，由xA≠0，所以xA=-
，
代入y=kx+1得：yA=
．
所以A(-
，
)．
由
，得（4k2+1）x2+8kx=0，由xC≠0，所以xC=-
，
代入y=kx+1得：yC=
．
所以C(-
，
)．
把A，C中的k置换成-
可得B(
，
)，D(
，
)
所以
=(-
，
)，
=(
，
)
=(
，
)，
=(
，
)
由3
=4
•
，
得3[(-
)(-
)+(-
)(-
)]
=4[
•
+(-
)(-
)]，
整理得：
=
，即3k4-4k2-4=0，解得k=±
．
所以l1的方程为y=
x+1，l2的方程为y=-
x+1
或l1的方程为y=-
x+1，l2的方程为y=
x+1．
| c |
| a |
| ||
| 2 |
又a2=b2+c2，所以a2=c2+1，
联立
|
| 3 |
所以椭圆C的方程为
| x2 |
| 4 |
（2）①设P（x0，y0）因为l1⊥l2，则d12+d22=PM2=x02+(y0-1)2，
因为
| ||
| 4 |
| y | 20 |
| 1 |
| 3 |
| 16 |
| 3 |
因为-1≤y0≤1，所以当y0=
| 1 |
| 3 |
| d | 21 |
| d | 22 |
| 16 |
| 3 |
4
| ||
| 3 |
| 1 |
| 3 |
②设l1的方程为y=kx+1，
由
|
| 2k |
| k2+1 |
代入y=kx+1得：yA=
| 1-k2 |
| 1+k2 |
所以A(-
| 2k |
| k2+1 |
| 1-k2 |
| 1+k2 |
由
|
| 8k |
| 4k2+1 |
代入y=kx+1得：yC=
| 1-4k2 |
| 1+4k2 |
所以C(-
| 8k |
| 4k2+1 |
| 1-4k2 |
| 1+4k2 |
把A，C中的k置换成-
| 1 |
| k |
| 2k |
| k2+1 |
| k2-1 |
| k2+1 |
| 8k |
| k2+4 |
| k2-4 |
| k2+4 |
所以
| MA |
| 2k |
| k2+1 |
| -2k2 |
| 1+k2 |
| MC |
| -8k |
| 4k2+1 |
| -8k2 |
| 4k2+1 |
| MB |
| 2k |
| k2+1 |
| -2 |
| k2+1 |
| MD |
| 8k |
| k2+4 |
| -8 |
| k2+4 |
由3
| MA• |
| MC |
| MB |
| MD |
得3[(-
| 2k |
| k2+1 |
| 8k |
| 4k2+1 |
| 2k2 |
| 1+k2 |
| 8k2 |
| 1+4k2 |
=4[
| 2k |
| k2+1 |
| 8k |
| k2+4 |
| 2 |
| k2+1 |
| 8 |
| k2+4 |
整理得：
| 3k2 |
| 1+4k2 |
| 4 |
| k2+4 |
| 2 |
所以l1的方程为y=
| 2 |
| ||
| 2 |
或l1的方程为y=-
| 2 |
| ||
| 2 |
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