题目内容

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
1
2
，一条准线方程为x=4．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M，设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值．
（1）由题意得
c
a
=
1
2
a2
c
=4
a2=b2+c2
，解得
a2=4
b2=3
，∴椭圆E的标准方程为
x2
4
+
y2
3
=1．
（2）设P（x0，y0）（y0≠0），
则直线AP的方程为：y=
y0
x0+2
（x+2）
令x=2得M（2，
4y0
x0+2
）
∴k1=
2y0
x0+2
，
∵k2=
y0
x0-2
，
∴k1k2=
2
y20
x20
-4
，
∵P（x0，y0）在椭圆上，∴
x02
4
+
y02
3
=1
∴k1k2═-
3
2
为定值．
练习册系列答案
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（理）已知方程x4+y2=1，给出下列结论：①它的图形关于x轴对称；②它的图形关于y轴对称；③它的图形是一条封闭的曲线，且面积小于π；④它的图形是一条封闭的曲线，且面积大于π.真命题的序号是           .
椭圆
x2
2
+y2=1的弦被点（
1
2
，
1
2
）平分，则这条弦所在的直线方程是______．
长方形ABCD，AB=2
2
，BC=1，以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程：
（2）过点p（0，2）的直线m与（1）中椭圆只有一个公共点，求直线m的方程：
（3）过点p（0，2）的直线l交（1）中椭圆与M，N两点，是否存在直线l，使得以弦MN为直径的圆恰好过原点？若存在，直线l的方程；若不存在，说明理由．
如图，A（-1，0），B（1，0），过曲线C1：y=x2-1（|x|≥1）上一点M的切线l，与曲线C2：y=-
m(1-x2)
(|x|＜1)也相切于点N，记点M的横坐标为t（t＞1）．
（1）用t表示m的值和点N的坐标；
（2）当实数m取何值时，∠MAB=∠NAB？并求此时MN所在直线的方程．
若点（3，1）是抛物线y2=2px（p＞0）的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p=______．
抛物线的顶点在原点O，焦点为椭圆
x2
3
+
y2
2
=1的右焦点F．
（1）求抛物线的方程；
（2）设点P在抛物线上运动，求P到直线y=x+3的距离的最小值，并求此时点P的坐标．
如图，从椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，又点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP，|F1A|=
10
+
5
，
（1）求椭圆E的方程．
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点C，D，且
OC
⊥
OD
？若存在，写出该圆的方程，并求|CD|的取值范围；若不存在，说明理由．
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦点为F1（-1，0），且点P（0，1）在C1上．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2=4x相切，求直线l的方程．

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