题目内容

已知双曲线与椭圆
x2
4
+y2=1共焦点，它们的离心率之和为
3
3
2
；
（1）求椭圆与双曲线的离心率e1、e2；
（2）求双曲线的标准方程与渐近线方程；
（3）已知直线l：y=
1
2
x+m与椭圆有两个交点，求m的取值范围．
（1）∵椭圆
x2
4
+y2=1中，
a=2，c=
3

∴椭圆离心率e1=
3
2
．
∵双曲线与椭圆
x2
4
+y2=1的离心率之和为
3
3
2
，
∴双曲线的离心率e2=
3
3
2
-
3
2
=
3
．
（2）∵椭圆
x2
4
+y2=1焦点为F1（-
3
，0），F2（
3
，0），
双曲线与椭圆
x2
4
+y2=1共焦点，
∴双曲线的焦点为F1（-
3
，0），F2（
3
，0），
∵双曲线的离心率e2=
3
．
∴双曲线的标准方程为x2-
y2
2
=1，
∴双曲线的渐近线方程为y=±
2
x．
（3）由
x2
4
+y2=1
y=
1
2
x+m
，得2x2+4mx+4m2-4=0，
∵直线l：y=
1
2
x+m与椭圆有两个交点，
∴△=（4m）2-8（4m2-4）＞0，
解得-
2
＜m＜
2
．
故m的取值范围是（-
2
，
2
）．
练习册系列答案
相关题目
长方形ABCD，AB=2
2
，BC=1，以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程：
（2）过点p（0，2）的直线m与（1）中椭圆只有一个公共点，求直线m的方程：
（3）过点p（0，2）的直线l交（1）中椭圆与M，N两点，是否存在直线l，使得以弦MN为直径的圆恰好过原点？若存在，直线l的方程；若不存在，说明理由．
如图，从椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，又点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP，|F1A|=
10
+
5
，
（1）求椭圆E的方程．
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点C，D，且
OC
⊥
OD
？若存在，写出该圆的方程，并求|CD|的取值范围；若不存在，说明理由．
已知椭圆E：
x2
a2
+y2=1（a＞1）的离心率e=
3
2
，直线x=2t（t＞0）与椭圆E交于不同的两点M、N，以线段MN为直径作圆C，圆心为C
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）当圆C与y轴相切的时候，求t的值；
（Ⅲ）若O为坐标原点，求△OMN面积的最大值．
过双曲线
x2
3
-
y2
6
=1的右焦点F，倾斜角为30°的直线交此双曲线于A，B两点，求|AB|．
在平面直角坐标系中，已知焦距为4的椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)左、右顶点分别为A、B，椭圆C的右焦点为F，
过F作一条垂直于x轴的直线与椭圆相交于R、S，若线段RS的长为
10
3
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设Q（t，m）是直线x=9上的点，直线QA、QB与椭圆C分别交于点M、N，求证：直线MN必过x轴上的一定点，并求出此定点的坐标．
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦点为F1（-1，0），且点P（0，1）在C1上．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2=4x相切，求直线l的方程．
F1，F2是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左右焦点，Q是双曲线上动点，从左焦点引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，则P点的轨迹是（　　）的一部分．
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的两条准线间距离为3，右焦点到直线x+y-1=0的距离为
2
2
．
（1）求双曲线C的方程；
（2）双曲线C中是否存在以点P(1，
1
2
)为中点的弦，并说明理由．

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