题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,已知
底面
,异面直线
和
所成角等于
.
(1)求证: 平面平面
;
(2)求直线和平面
所成角的正弦值;
(3) 在棱上是否存在一点
,使得平面
与平面
所成锐二面角的正切值为
?若存在,指出点
在棱
上的位置,若不存在,说明理由.
【答案】(1)见解析;(2);(3)存在这样的
点,
为棱
上靠近
的三等分点.
【解析】试题分析:(1)要证平面平面
,即证
平面
;
(2)以为原点,
所在直线分别为
轴,建立空间直角坐标系,求面
的法向量,利用向量求线面角即可;
(3)假设存在,设,利用法向量求平面
与平面
所成角即可.
试题解析:
(1) 底面
,又
平面
平面
平面
,
平面
平面
.
(2)如图,以为原点,
所在直线分别为
轴,建立空间直角坐标系,由(1)易知
是等腰直角三角形,
.设
,则
,则
,因为异面直线
和
所成角等于
,
,即
,解得
.设平面
的一个法向量为
,则由
,得
,所以可取
,所以直线
和平面
所成的正弦值为
.
(3)假设存在,设,且
,则
,设平面
一个法向量为
,则由
,得
,取
,又平面
的法向量为
,由平面
与平面
所成锐二面角的正切值为
,可知余弦值为
,由
,解得
或
(不合题意).
所以存在这样的点,
为棱
上靠近
的三等分点.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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