Question

【题目】已知椭圆C： （a＞b＞0）的离心率为，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点，且kOAkOB=﹣，判断△AOB的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率等于，原点到直线的距离等于及隐含条件联立方程组求解的值，则椭圆的标准方程可求；（2）联立直线方程和椭圆方程，消去后利用根与系数关系得到两点的横坐标的和与积，由弦长公式求得，由点到直线的距离公式求得到的距离，代入三角形的面积公式证得答案.

试题解析：（1）由题意得

椭圆的方程为.

（2）设， 则A,B的坐标满足

消去y化简得 ， ，

得，

=

，即

即

=

O到直线的距离

===为定值