题目内容
如图,在四棱锥
中,
,
,底面
是菱形,且
,
为
的中点.
(1)求四棱锥
的体积;
(2)证明:
平面
;
(3)侧棱
上是否存在点
,使得
平面
?并证明你的结论.







(1)求四棱锥

(2)证明:


(3)侧棱









解:(1)
,

则有
,
,
,
又
底面
,………………………(2分)

……………(4分)
(2)证明:
是菱形,
,
,
为正三角形, 又
为
的中点,
…………………(6分)
由
,
,
,
平面
……………………………………………………(8分)
(3)
为侧棱
的中点时,
平面
. ……………………………(10分)
证法一:设
为
的中点,连
,则
是
的中位线,
且
,又
且
,
且
,
四边形
为平行四边形,
,
平面
,
平面
,
平面
. ………………(12分)
证法二:设
为
的中点,连
,则
是
的中位线,
,
平面
,
平面
,
平面
.
同理,由
,得
平面
.
又
,
平面
平面
,
又
平面
,
平面
. ……………………………(12分)



则有









(2)证明:









由





(3)




证法一:设




















证法二:设












同理,由



又




又





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