题目内容
△OAB是边长为4的正三角形,CO⊥平面OAB且CO=2,设D、E分别是OA、AB的中点.
(1)求证:OB∥平面CDE;
(2)求三棱锥O-CDE的体积;
(3)在CD上是否存在点M,使OM⊥平面CDE,若存在,则求出M点的位置,若不存在,请说明理由.

(1)求证:OB∥平面CDE;
(2)求三棱锥O-CDE的体积;
(3)在CD上是否存在点M,使OM⊥平面CDE,若存在,则求出M点的位置,若不存在,请说明理由.

(1)证明:∵DE是△AOB的中位线
∴DE∥OB
又∵DE?平面CDE,OB?平面CDE
∴OB∥平面CDE;
(2)∵△OAB是边长为4的正三角形,
D、E分别是OA、AB的中点,
∴DE=2,∴S△ODE=
×2×
=
,
又∵CO⊥平面OAB且CO=2,
∴VO-CDE=VC-ODE=
×S△ODE×OC=
;
(3)假设在CD上存在点M,使OM⊥平面CDE,则OM⊥DE,
又∵CO⊥DE,CO∩OM=O,∴DE⊥平面OCD,∴DE⊥OA,
这与已知∠DEA=60°矛盾,
∴在CD上不存在点M,使OM⊥平面CDE.
∴DE∥OB
又∵DE?平面CDE,OB?平面CDE
∴OB∥平面CDE;
(2)∵△OAB是边长为4的正三角形,
D、E分别是OA、AB的中点,
∴DE=2,∴S△ODE=
1 |
2 |
3 |
3 |
又∵CO⊥平面OAB且CO=2,
∴VO-CDE=VC-ODE=
1 |
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2
| ||
3 |
(3)假设在CD上存在点M,使OM⊥平面CDE,则OM⊥DE,
又∵CO⊥DE,CO∩OM=O,∴DE⊥平面OCD,∴DE⊥OA,
这与已知∠DEA=60°矛盾,
∴在CD上不存在点M,使OM⊥平面CDE.

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