题目内容

△OAB是边长为4的正三角形,CO⊥平面OAB且CO=2,设D、E分别是OA、AB的中点.
(1)求证:OB平面CDE;
(2)求三棱锥O-CDE的体积;
(3)在CD上是否存在点M,使OM⊥平面CDE,若存在,则求出M点的位置,若不存在,请说明理由.
(1)证明:∵DE是△AOB的中位线
∴DEOB
又∵DE?平面CDE,OB?平面CDE
∴OB平面CDE;
(2)∵△OAB是边长为4的正三角形,
D、E分别是OA、AB的中点,
∴DE=2,∴S△ODE=
1
2
×2×
3
=
3

又∵CO⊥平面OAB且CO=2,
∴VO-CDE=VC-ODE=
1
3
×S△ODE×OC
=
2
3
3

(3)假设在CD上存在点M,使OM⊥平面CDE,则OM⊥DE,
又∵CO⊥DE,CO∩OM=O,∴DE⊥平面OCD,∴DE⊥OA,
这与已知∠DEA=60°矛盾,
∴在CD上不存在点M,使OM⊥平面CDE.
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