Question

11．已知函数f（x）=（sinx+cos x）²+2cos²x-2．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）当x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]时，求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数公式化简可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），解不等式2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得函数f（x）的单调递增区间；
（2）由x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]结合不等式的性质和三角函数的值域可得．

解答 解：（1）化简可得f（x）=sin²x+cos²x+2sinxcos x+（2cos²x-1）-1
=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，则kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，k∈Z．
∴函数f（x）的单调递增区间为：[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，k∈Z；
（2）∵x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，∴$\frac{3π}{4}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{7π}{4}$，
∴-1≤sin（2x+$\frac{π}{4}$）≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴-$\sqrt{2}$≤f（x）≤1．
∴当x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]时，函数f（x）的最大值为1，最小值为-$\sqrt{2}$

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数的单调性和区间的最值，属中档题．