Question

9．设{a_n}是等差数列，{b_n}是各项都为正数的等比数列，且a₁=b₁=1，a₃+b₃=9，a₅+b₅=25．
（Ⅰ）求{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列$\{\frac{a_n}{b_n}\}$的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（II）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，
∵a₁=b₁=1，a₃+b₃=9，a₅+b₅=25．
∴1+2d+q²=9，1+4d+q⁴=25，q＞0．
解得d=2，q=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
b_n=2^n-1．
（Ⅱ）$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$，
∴S_n=1+$\frac{3}{2}+\frac{5}{{2}^{2}}$+…+$\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$，
$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{2n-3}{{2}^{n-1}}$+$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}{S}_{n}$=1+$\frac{2}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}$+…+$\frac{2}{{2}^{n-1}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$=$\frac{2（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-1-$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$，
∴${S_n}=6-\frac{2n+3}{{{2^{n-1}}}}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“错位相减法”、等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．