题目内容

19.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的表面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此三棱锥的体积为(  )
A.$\frac{1}{4}$B.$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$C.$\frac{{\sqrt{2}}}{6}$D.$\frac{{\sqrt{2}}}{12}$

分析 根据题意作出图形,利用截面圆的性质即可求出OO1,进而求出底面ABC上的高SD,即可计算出三棱锥的体积.

解答 解:根据题意作出图形:
设球心为O,过ABC三点的小圆的圆心为O1,则OO1⊥平面ABC,
延长CO1交球于点D,则SD⊥平面ABC.
∵CO1=$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴OO1=$\sqrt{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$,
∴高SD=2OO1=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$,
∵△ABC是边长为1的正三角形,
∴S△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$,
∴V三棱锥S-ABC=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×\frac{2\sqrt{6}}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$.
故选:C.

点评 本题考查棱锥的体积,考查球内接多面体,解题的关键是确定点S到面ABC的距离.

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