题目内容
【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数,且
),以
为极点,
轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
.
(1)若曲线与
只有一个公共点,求
的值;
(2),
为曲线
上的两点,且
,求△
的面积最大值.
【答案】(1)a=1;(2)见解析.
【解析】试题分析:(1)根据曲线的参数方程可得曲线
是以
为圆心,以
为半径的圆,再将直线
的极坐标方程化为直角坐标方程,根据曲线
与
只有一个公共点,由圆心到直线的距离等于半径,即可求得
的值;(2)法一:由题意,曲线
的极坐标方程为
设
的极角为
,
的极角为
,即可表示出
,根据积化和差公式及三角函数图象即可求得△
的面积最大值;法二:根据曲线
是圆及
,利用正弦定理可得
,再根据余弦定理与基本不等式即可求得
的最大值,从而可得△
的面积最大值.
试题解析:(1)由题意可得曲线是以
为圆心,以
为半径的圆;
直线的直角坐标方程为
.
由直线与圆
只有一个公共点,则可得
.
∴(舍)或
∴
(2)法一:由题意,曲线的极坐标方程为
.
设的极角为
,
的极角为
,则:
∵
∴当时,
取得最大值为
.
∴的面积最大值为
.
法二:∵曲线是以
为圆心,以
为半径的圆,且
.
∴由正弦定理得: ,即
.
∴由余弦定理得: ,则:
,当且仅当
时取等号.
∴的面积最大值为
.
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