题目内容

【题目】在数列中, ,其中

求证:数列为等差数列;

,数列的前项和为,若当为偶数时, 恒成立,求实数的取值范围;

设数列的前项的和为,试求数列的最大值.

【答案】⑴见解析⑵

【解析】试题分析:(1)根据题意,由数列的递推公式分析可得的关系式,由等差数列的定义分析可得答案;
(2)根据题意,求出数列数列的前项和为的表达式,当为偶数时,设,求出的表达式,分析可得答案;
(3)由(2)的结论求出 即可得的表达式,设 ,由数列的函数特征分析数列 变化的规律,分析可得答案.

试题解析:

⑴证明:

数列是公差为1的等差数列;

⑵由⑴可知, ,故.

因为

所以

为偶数时,设

要使为偶数恒成立,

只要使为偶数恒成立,

即使为正偶数恒成立,

,故实数的取值范围是

⑶由⑴得

时, ,即

时, ,即

因此数列的最大值为

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