题目内容
【题目】在数列中,
,
,
,其中
.
⑴ 求证:数列为等差数列;
⑵ 设,
,数列
的前
项和为
,若当
且
为偶数时,
恒成立,求实数
的取值范围;
⑶ 设数列的前
项的和为
,试求数列
的最大值.
【答案】⑴见解析⑵⑶
【解析】试题分析:(1)根据题意,由数列的递推公式分析可得与
的关系式,由等差数列的定义分析可得答案;
(2)根据题意,求出数列数列的前
项和为
的表达式,当
且
为偶数时,设
,求出的
表达式,分析可得答案;
(3)由(2)的结论求出 即可得
的表达式,设
,由数列的函数特征分析数列
变化的规律,分析可得答案.
试题解析:
⑴证明:
,
,
数列
是公差为1的等差数列;
⑵由⑴可知, ,故
.
因为,
所以
,
当且
为偶数时,设
,
则
,
要使对
且
为偶数恒成立,
只要使对
且
为偶数恒成立,
即使对
为正偶数恒成立,
,
,故实数
的取值范围是
;
⑶由⑴得,
,
,
,
设,
,
当
时,
,即
,
当时,
,即
,
,
因此数列的最大值为
.
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