Question

【题目】已知两矩形ABCD与ADEF所在的平面互相垂直，AB=1，若将△DEF沿直线FD翻折，使得点E落在边BC上（即点P），则当AD取最小值时，边AF的长是；此时四面体F﹣ADP的外接球的半径是 ．

Answer 1

【答案】；
【解析】解：设FA=x（x＞1），AD=y，
∵矩形ABCD与矩形ADEF所在的平面互相垂直，AB=1，FA=x（x＞1），AD=y，
∴FE=FP=AD=BC=y，AB=DC=1，FA=DE=DP=x
在Rt△DCP中，PC=
在Rt△FAP中，AP=
在Rt△ABP中，BP=
∵BC=BP+PC= + =y
整理得y2= ，令x2=
则y2= ，
则当t= ，即x= 时，y取最小值2．
四面体F﹣ADP的外接球的球心为DF的中点，DF= = ，四面体F﹣ADP的外接球的半径是 ．
故答案为： ， ．
由已知中矩形ABCD与矩形ADEF所在的平面互相垂直，将△DEF沿FD翻折，翻折后的点E恰与BC上的点P重合．设AB=1，FA=x（x＞1），AD=y，我们利用勾股定理分别求出BP，PC，根据BC=BP+PC，可以得到 x，y的关系式，利用换元法结合二次函数的性质，可得答案．四面体F﹣ADP的外接球的球心为DF的中点，即可求出四面体F﹣ADP的外接球的半径．