Question

【题目】抛物线的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N，则 的最大值为__________．

Answer 1

【答案】1

【解析】

设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=

（a+b）2﹣3ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．

设|AF|=a，|BF|=b，

由抛物线定义，得AF|=|AQ|，|BF|=|BP|

在梯形ABPQ中，∴2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．

由余弦定理得，

|AB|2=a2+b2﹣2abcos60°=a2+b2﹣ab

配方得，|AB|2=（a+b）2﹣3ab，

又∵ab≤（） 2，

∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2

得到|AB|≥（a+b）．

∴≤1，即的最大值为1．

故答案为：1．