题目内容
【题目】已知椭圆
的标准方程为
，该椭圆经过点
，且离心率为
．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆长轴上一点
作两条互相垂直的弦
．若弦的中点分别为
，证明：直线
恒过定点．
【答案】（1）
;（2）
．
【解析】
(1)根据已知得到方程组，解方程组即得椭圆的方程.(2)先求直线MN的方程
，
，即得直线MN经过的定点，再讨论当
时，直线
也经过定点
，综上所述，直线经过定点．当
时，过定点．
（1）解：∵点
在椭圆上，∴
，
又∵离心率为
，∴
，∴
，
∴
，解得
，
，
∴椭圆方程为．
（2）证明：设直线
的方程为
，
，则直线
的方程为
，
联立
，得
，
设
，
，则
，
，
∴
，
由中点坐标公式得
，
将
的坐标中的
用
代换，得的中点
，
∴直线的方程为，，
令
得
，∴直线经过定点，
当时，直线也经过定点，综上所述，直线经过定点．
当时，过定点．
练习册系列答案
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乙 | 33 | 29 | 38 | 34 | 28 | 36 |
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(2)估计甲、乙两运动员的最大速度的平均数和方差，并判断谁参加比赛更合适．
