题目内容
【题目】设,函数
.
(1)若,求证:函数
为奇函数;
(2)若,判断并证明函数
的单调性;
(3)若,函数
在区间
上的取值范围是
,求
的范围.
【答案】(1)见解析;(2)函数为
上的单调递增,证明见解析;(3)当
时,
;当
时,
.
【解析】
(1)当时,函数
,根据函数奇偶性得
,进而得出结论.
(2)当时,函数
的定义域为
,通过单调性的定义法的五步①设元②作差③变形④定号⑤下结论.
(3)因为,
,所以
,分
,
两种情况讨论函数
在区间
上的取值范围是
,进而得出结论.
解:(1)当时,函数
,
因为,所以
,即定义域为
从而对任意的,
,
所以为奇函数.
(2)当时,因为
,所以
,
所以函数的定义域为
.
结论:函数为
上的单调递增函数.
证明:设对任意的,
,且
,
则
,
因为,所以
,即
,
又因为,
,
,
所以,
于是,即函数
为
上的单调递增.
(3)因为,所以
,从而
,
由,知
,所以
,
因为,所以
或
.
当
时,由(2)知,函数
为
上单调递增函数.
因为函数在区间
上的取值范围是
所以,即
,
从而关于的方程
有两个互异实数根.
令,则
,所以方程
,
有两个互异实数根
,从而
.
当
时,函数
在区间
,
上均单调递减.
若,则
,于是
,这与
矛盾,故舍去.
若,则
,于是
,即
,
所以,两式相减整理得,
,
又,故
,从而
,因为
,所以
.
综上可得,当时,
当时,
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】经调查,3个成年人中就有一个高血压,那么什么是高血压?血压多少是正常的?经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查,得出随年龄变化,收缩压的正常值变化情况如下表:
年龄x | 28 | 32 | 38 | 42 | 48 | 52 | 58 | 62 |
收缩压 | 114 | 118 | 122 | 127 | 129 | 135 | 140 | 147 |
其中:,
,
请画出上表数据的散点图;
请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程
;
的值精确到
若规定,一个人的收缩压为标准值的
倍,则为血压正常人群;收缩压为标准值的
倍,则为轻度高血压人群;收缩压为标准值的
倍,则为中度高血压人群;收缩压为标准值的
倍及以上,则为高度高血压人群
一位收缩压为180mmHg的70岁的老人,属于哪类人群?