题目内容

6.已知在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且满足cos2A+2sin2B+2sin2C-2$\sqrt{3}$sinBsinC=1.
(1)求角A的大小;
(2)若b=$\sqrt{3}$,c=4,求△ABC的外接圆的面积.

分析 (1)根据二倍角余弦公式的变形化简已知的式子,利用正弦、余弦定理化简后求出cosA的值,根据内角的范围求出角A;
(2)由题意和余弦定理求出边a,利用正弦定理可求出△ABC的外接圆的半径,代入圆的面积公式求解即可.

解答 解:(1)∵cos2A+2sin2B+2sin2C-2$\sqrt{3}$sinBsinC=1,
∴1-2sin2A+2sin2B+2sin2C-2$\sqrt{3}$sinBsinC=1,
则-sin2A+sin2B+sin2C-$\sqrt{3}$sinBsinC=0,
由正弦定理得,$-{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}-\sqrt{3}bc=0$,
∴$-{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}=\sqrt{3}bc$,
由余弦定理得,cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∵0<A<π,∴A=$\frac{π}{6}$;
(2)设△ABC的外接圆的半径R,
∵b=$\sqrt{3}$,c=4,A=$\frac{π}{6}$,
∴由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccosA
=3+16-2×$\sqrt{3}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=7,则a=$\sqrt{7}$,
∴2R=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{\sqrt{7}}{\frac{1}{2}}$=2$\sqrt{7}$,则R=$\sqrt{7}$,
∴△ABC的外接圆的面积S=πR2=7π.

点评 本题考查正弦、余弦定理的综合应用,以及二倍角余弦公式的变形,属于中档题.

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