Question

3．如图，矩形OABC在变换T的作用下变成了平行四边形OA′B′C′，变换T所对应的矩阵为M，矩阵N是把坐标平面上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的3倍的变换所对应的矩阵．
（Ⅰ）求矩阵M，N；
（Ⅱ）直线l先在矩阵M，再在矩阵N所对应的线性变换作用下像的方程为x+y+1=0．求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设T$\left\{\begin{array}{l}{x′=ax+by}\\{y′=cx+dy}\end{array}\right.$，由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{2a=0}{2c=2}}\\{\stackrel{2a+b=-1}{2c+d=3}}\end{array}\right.$解得a，b，c，d的值，即可求得矩阵M，N．
（Ⅱ）设直线l上任一点（x，y）依次在矩阵M，N即矩阵NM所对应的线性变换作用下对应点（x′，y′），可得$\left\{\begin{array}{l}{x′=-2y}\\{y′=3x+3y}\end{array}\right.$代入x′+y′+1=0即可得解．

解答 解：（Ⅰ）设T$\left\{\begin{array}{l}{x′=ax+by}\\{y′=cx+dy}\end{array}\right.$，A（2，0）→A′（0，2），B′（2，1）→B′（-1，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{2a=0}{2c=2}}\\{\stackrel{2a+b=-1}{2c+d=3}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{a=0}{b=-1}}\\{\stackrel{c=1}{d=1}}\end{array}\right.$，即有M=$（\begin{array}{l}{0}&{-1}\\{1}&{1}\end{array}）$，N=$（\begin{array}{l}{2}&{0}\\{0}&{3}\end{array}）$…4分
（Ⅱ）NM=$（\begin{array}{l}{2}&{0}\\{0}&{3}\end{array}）（\begin{array}{l}{0}&{-1}\\{1}&{1}\end{array}）（\begin{array}{l}{0}&{-2}\\{3}&{3}\end{array}）$，
设直线l上任一点（x，y）依次在矩阵M，N即矩阵NM所对应的线性变换作用下对应点（x′，y′），
则$\left\{\begin{array}{l}{x′=-2y}\\{y′=3x+3y}\end{array}\right.$代入x′+y′+1=0可得3x+y+1=0，
所以，直线l的方程是3x+y+1=0…7分

点评 本题考查了矩阵变换的性质，矩阵的乘法，属于中档题．