题目内容

【题目】已知数列满足

)证明:

)证明:

)若,记数列的前项和为,证明:

【答案】)详见解析;()详见解析;()详见解析.

【解析】

)利用导数证明出不等式对任意的恒成立,然后利用数学归纳法可证得

)利用分析法,得出,然后构造函数,利用导数证明出在区间上单调递增,进而可得出,即可证得结论;

)由()()可推导出,再由可得出,再利用放缩法结合等比数列的求和公式证明结论.

)设,其中

所以,函数在区间上单调递增,则,则.

再用数学归纳法证明.

①因为,所以,由

②假设当时,

则当时,因为,所以

综上由①②知对一切恒成立;

)要证,即证,其中

,则

所以,函数在区间上单调递增,从而

,得证;

)由()()知,.

因为当时,

,所以,所以

构造数列,则,即

所以,数列从第项开始单调递减,此时,,则

,可得

从而

时,,所以得证.

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