题目内容
【题目】已知数列满足,,.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)证明:;
(Ⅲ)若,记数列的前项和为,证明:.
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ)详见解析.
【解析】
(Ⅰ)利用导数证明出不等式对任意的恒成立,然后利用数学归纳法可证得;
(Ⅱ)利用分析法,得出,然后构造函数,利用导数证明出在区间上单调递增,进而可得出,即可证得结论;
(Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)可推导出,再由可得出,再利用放缩法结合等比数列的求和公式证明结论.
(Ⅰ)设,其中,,
所以,函数在区间上单调递增,则,则.
再用数学归纳法证明.
①因为,所以,由知;
②假设当时,,
则当时,因为,所以,
由得,
综上由①②知对一切恒成立;
(Ⅱ)要证,即证,其中,
令,则,
所以,函数在区间上单调递增,从而,
即,得证;
(Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)知,.
因为当时,,
又,所以,所以,
构造数列,则,即,
所以,数列从第项开始单调递减,此时,,则,
则,可得,
从而,
又时,,所以得证.
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