题目内容
【题目】已知的两个顶点坐标是
,
,
的周长为
,
是坐标原点,点
满足
.
(1)求点的轨迹
的方程;
(2)若互相平行的两条直线,
分别过定点
和
,且直线
与曲线
交于
两点,直线
与曲线
交于
两点,若四边形
的面积为
,求直线
的方程.
【答案】(1)(2)
或
【解析】
(1)由,所以,可得点
的轨迹是以
为焦点的椭圆(不含左右顶点).再由
得得出点A的坐标与点M的坐标的关系,可求得点
的轨迹
的方程;
(2)分直线的斜率不存在时和直线
的斜率存在时两种情况分别求解,当直线的斜率存在时,可设直线
的方程为
,直线
的方程为
与曲线E的方程联立求得边
,
,
,再由平行线间的距离可得平行四边形的面积,可得解.
(1)由已知,得,所以,点
的轨迹是以
为焦点的椭圆(不含左右顶点).
因为,,
,所以,
,
,
所以,点的轨迹方程为
.
设,
.由
得,
,又
.
故,点的轨迹
的方程为
,即
.
(2)由题意可知,当直线的斜率不存在时,易求得
,
,
,
.这时,四边形
的面积为
,不符合要求.
当直线的斜率存在时,可设直线
的方程为
,
则直线的方程为
由消去
得
,
设,
,则
,
.
故,,
又,两条平行直线,
间的距离
.
由椭圆的对称性知:四边形为平行四边形,其面积
,
解得,或
.
故,直线的方程为
或
.
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