Question

5．已知函数f（x）=x²+3x|x-c|，其中c∈R．
（1）当$c=\frac{1}{3}$时，是否存在区间[a，b]，使得函数f（x）的定义域与值域均为[a，b]？若存在，求出所有可能的区间[a，b]，若不存在请说明理由．
（2）若c＞0，函数f（x）在区间（a，b）上既有最大值又有最小值，请分别求出a，b的取值范围（用c表示）．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的分段函数，对a，b讨论，当a＜b$≤\frac{1}{4}$时，当a$≤\frac{1}{4}$＜$\frac{1}{3}$≤b时，当$\frac{1}{4}$$≤a≤b≤\frac{1}{3}$时，当$\frac{1}{4}$≤a≤$\frac{1}{3}$＜b时，当$\frac{1}{3}$≤a＜b时，运用单调性，得到方程，解得可得所求区间；
（2）画出函数的图象，要使得函数f（x）在开区间（a，b）内既有最大值又有最小值，则最小值一定在x=c处取得，最大值在$x=\frac{3}{4}c$处取得，分别求得函数值为c²时，x=$\frac{1}{2}$c，函数值为$\frac{9}{8}$c²时，x=$\frac{3+\sqrt{3}}{8}$c，即可得到a，b的范围．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{4{x}^{2}-3cx，x≥c}\\{-2{x}^{2}+3cx，x＜c}\end{array}\right.$．
（1）当c=$\frac{1}{3}$时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{4{x}^{2}-x，x≥\frac{1}{3}}\\{-2{x}^{2}+x，x＜\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
当a＜b$≤\frac{1}{4}$时，f（x）在区间[a，b]上单调递增，
所以$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=a}\\{f（b）=b}\end{array}\right.$即为$\left\{\begin{array}{l}{-2{a}^{2}+a=a}\\{-2{b}^{2}+b=b}\end{array}\right.$，
所以a=b矛盾；当a$≤\frac{1}{4}$$≤b＜\frac{1}{3}$时，b=f（$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{8}$，矛盾；
当a$≤\frac{1}{4}$＜$\frac{1}{3}$≤b时，b$≥\frac{1}{3}＞\frac{1}{8}$＞f（a），
故f（x）在区间[a，b]上的最大值在区间[$\frac{1}{3}$，b]上取得．
f（x）在[$\frac{1}{3}$，b]上单调递增，则b=f（b），
即4b²-b=b，解得b=$\frac{1}{2}$．
又a$≤\frac{1}{4}$，且a$≤\frac{1}{9}$，所以f（x）在区间[a，b]上最小值在区间[a，$\frac{1}{4}$]上取得，
又f（x）在区间[a，$\frac{1}{4}$]上单调递增，故a=f（a），即-2a²+a=a，解得a=0，
故[a，b]=[0，$\frac{1}{2}$]．
当$\frac{1}{4}$$≤a≤b≤\frac{1}{3}$时，由x∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$]，得$\frac{1}{9}$$≤f（x）≤\frac{1}{8}$，则$\frac{1}{9}$≤a＜b≤$\frac{1}{8}$矛盾．
当$\frac{1}{4}$≤a≤$\frac{1}{3}$＜b时，f（x）在区间[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$]上单调递减，在[$\frac{1}{3}$，b]上单调递增．
故a=f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{9}$，矛盾．
当$\frac{1}{3}$≤a＜b时，f（x）在区间[a，b]上单调递增，故$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=a}\\{f（b）=b}\end{array}\right.$，得a=b=$\frac{1}{2}$，矛盾．
综上所述$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，即存在区间[0，$\frac{1}{2}$]满足条件．
（2）当c＞0时，函数的图象如图，
要使得函数f（x）在开区间（a，b）内既有最大值又有最小值，
则最小值一定在x=c处取得，
最大值在$x=\frac{3}{4}c$处取得，f（c）=c²，
在区间（-∞，c）内，函数值为c²时，x=$\frac{1}{2}$c，
所以$\frac{1}{2}$c≤a＜$\frac{3}{4}$c；
f（$\frac{3}{4}$c）=$\frac{9}{8}$c²，而在区间（a，+∞）内函数值为$\frac{9}{8}$c²时，x=$\frac{3+\sqrt{3}}{8}$c，
所以c＜b≤$\frac{3+\sqrt{3}}{8}$c．

点评 本题考查分段函数的值域和最值的求法，注意运用分类讨论的思想方法和函数的单调性，考查运算能力，属于难题．