Question

18．如图，某乡镇计划以公路MN为对角线修建一个矩形的农业观光园区AMPN，在观光园区内再建造一矩形服务中心ABCD，已知B在AM上，C在MN上，D在AN上，公路MN的长度为10千米，设∠AMN=θ．
（1）当θ为多少时，农业观光园区AMPN的面积最大；
（2）若θ=30°，则CM的长度为多少时，服务中心ABCD的面积最大．

Answer 1

分析 （1）由题意，AM=10cosθ，AN=10sinθ，农业观光园区AMPN的面积S=AM•AN=10cosθ•10sinθ=50sin2θ，即可得出结论；
（2）设CM=x千米，θ=30°，则CB=$\frac{1}{2}$x，AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（10-x），服务中心ABCD的面积为CB•AB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x（10-x），利用基本不等式可得结论．

解答 解：（1）由题意，AM=10cosθ，AN=10sinθ，
∴农业观光园区AMPN的面积S=AM•AN=10cosθ•10sinθ=50sin2θ，
∴θ=45°时，农业观光园区AMPN的面积最大，最大为50平方千米；
（2）设CM=x千米，θ=30°，则CB=$\frac{1}{2}$x，AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（10-x），
服务中心ABCD的面积为CB•AB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x（10-x）≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$•$（\frac{x+10-x}{2}）^{2}$=$\frac{25\sqrt{3}}{4}$，
当且仅当x=10-x，即x=5时服务中心ABCD的面积最大．

点评 本题考查根据题设关系列出面积关系式，考查利用三角函数、基本不等式求最值，解题的关键是确定面积．