题目内容

9.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点.
(1)判断BD1与平面AEC的位置关系,并证明你的结论.
(2)若AB=BC=$\sqrt{3}$,CC1=2,求异面直线AE、BD1所成的角的余弦值.

分析 (1)连接BD,设交AC于O,连接EO,便可说明BD1∥OE,由线面平行的判定定理即可得出BD1∥平面AEC;
(2)由上面BD1∥OE即可得到异面直线AE、BD1所成的角为∠AEO,而通过条件可说明OE⊥AC,并且可求出AE,OE,从而根据直角三角形的边角关系cos∠AEO=$\frac{EO}{AE}$,这样即可求出异面直线AE,BD1所成角的余弦值.

解答 解:(1)BD1∥平面AEC,如图,连结BD交AC于O,则O为BD中点,连结OE;

∵E为DD1的中点,∴OE∥BD1
∵OE?平面AEC,BD1?平面AEC;
∴BD1∥平面AEC;
(2)∵OE∥BD1
∴异面直线AE,BD1所成的角为∠AEO;
∵$AB=BC=\sqrt{3},C{C}_{1}=2$;
∴EA=EC=2,$EO=\frac{1}{2}B{D}_{1}=\frac{\sqrt{10}}{2}$;
∴EO⊥AC;
∴Rt△AEO中,cos$∠AEO=\frac{EO}{EA}=\frac{\sqrt{10}}{4}$;
因此,异面直线AE,BD1所成的角的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{4}$.

点评 考查三角形中位线的性质,线面平行的判定定理,以及异面直线所成角的定义及求法,直角三角形边角的关系.

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