题目内容

17.已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中垂线与⊙C交于点M,N.
(1)若$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$($\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$),求直线l的方程;
(2)求四边形AMBN面积的范围.

分析 (1)圆的方程化为标准方程,$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$($\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$),可得P是AB的中点,即可求直线l的方程;
(2)四边形AMBN面积=$\frac{1}{2}•8•|AB|$=4|AB|,求出|AB|的范围,即可求四边形AMBN面积的范围.

解答 解:(1)圆C:x2+y2-8y=0,可化为x2+(y-4)2=16,圆心为(0,4),半径为4,
∵$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$($\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$),∴P是AB的中点,
∵kCP=$\frac{4-2}{0-2}$=-1,
∴kAB=1,
∴直线l的方程为y-2=x-2,即x-y=0;
(2)四边形AMBN面积=$\frac{1}{2}•8•|AB|$=4|AB|.
P是AB的中点时,|CP|=$\sqrt{(2-0)^{2}+(2-4)^{2}}$=2$\sqrt{2}$,|AB|min=$\sqrt{16-8}$=2$\sqrt{2}$,
AB是直径时,|AB|max=8,
∴四边形AMBN面积的范围是[8$\sqrt{2}$,32].

点评 本题考查直线与圆的位置关系,考查面积的计算,正确运用圆的性质是关键.

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