Question

12．当a$\frac{17}{16}$时，两曲线x=-y²+$\frac{5}{4}$和y=-x²+a（a＞0）有切点．

Answer 1

分析 根据题意，曲线可化为y₁=f（x）=$\sqrt{\frac{5}{4}-x}$，y₂=g（x）=-x²+a（a＞0），则f′（x）=-$\frac{1}{2}$•$（\frac{5}{4}-x）^{-\frac{1}{2}}$，g′（x）=-2x，设切点（m，n），则f（m）=g（m），f′（m）=g′（m），即可得出结论．

解答 解：根据题意，曲线可化为y₁=f（x）=$\sqrt{\frac{5}{4}-x}$，y₂=g（x）=-x²+a（a＞0），则
f′（x）=-$\frac{1}{2}$•$（\frac{5}{4}-x）^{-\frac{1}{2}}$，g′（x）=-2x，
设切点（m，n），则f（m）=g（m），f′（m）=g′（m），
解得m=1，n=$\frac{1}{4}$，a=$\frac{17}{16}$，
∴a=$\frac{17}{16}$，两曲线x=-y²+$\frac{5}{4}$和y=-x²+a（a＞0）有切点．
故答案为：$\frac{17}{16}$．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．