题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,平面
平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,
,
,
.
(1)在线段PA上找一点E,使得平面PCD,并证明;
(2)在(1)的条件下,若,求点E到平面PCD的距离.
【答案】(1)E是线段PA的中点,证明详见解析;(2).
【解析】
(1)当E是线段PA的中点,利用中位线可得,再由平行四边形可得
,则平面
平面PCD,进而求证即可;
(2)由题可得平面ABCD,利用等体积法可得
,即可求得点O到平面PCD的距离为d,进而由(1)的平行关系求解即可
(1)当E是线段PA的中点,
证明:记O为AD的中点,连接BE,OE,OB,
∵O是AD的中点,∴,
又平面PCD,
平面PCD,
∴平面PCD,
又∵底面ABCD是直角梯形,,
∴,
又平面PCD,
平面PCD,
∴平面PCD,
∵平面OBE,
平面OBE,
,
∴平面平面PCD,
又平面OBE,
∴平面PCD
(2)解:∵连接PO,CO,
平面
平面ABCD,
,
∴,∴
平面ABCD,
,
,
,
,
,
,
设点O到平面PCD的距离为d,由等体积法可得
即,解得
由(1)知点O到平面PCD的距离等于点E到平面PCD的距离,
故点E到平面PCD的距离为
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