题目内容
【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
,且椭圆上存在一点
,满足
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过椭圆右焦点
的直线
与椭圆
交于不同的两点
,求
的内切圆的半径的最大值.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)利用余弦定理和椭圆的定义即可求出a,再根据b2=a2﹣c2=3,可得椭圆的方程;(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),设△F1AB的内切圆的半径为R,表示出△F1AB的周长与面积,设直线l的方程为x=my+1,联立直线与椭圆方程,利用韦达定理,表示三角形面积,令t,利用函数的单调性求解面积的最大值,然后求解△F1AB内切圆半径的最大值为
.
(1)设,则
内,
由余弦定理得,化简得
,解得
故,得
所以椭圆的标准方程为
(2)设,设
得内切圆半径为
的周长为
所以
根据题意知,直线的斜率不为零,可设直线
的方程为
由得
由韦达定理得
令,则
令,则
时,
单调递增,
即当时,
的最大值为
,此时
.
故当直线的方程为
时,
内圆半径的最大值为
.
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