题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，已知棱
，
，
两两垂直，长度分别为1，2，2.若
（
），且向量
与
夹角的余弦值为
.
（1）求
的值；
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
试题（1）以
为坐标原点，
、
、
分别为
、
、
轴建立空间直角坐标系
，写出
，
的坐标，根据空间向量夹角余弦公式列出关于
的方程可求；（2）设岀平面
的法向量为
，根据
，进而得到
，从而求出
，向量
的坐标可以求出，从而可根据向量夹角余弦的公式求出
，从而得
和平面
所成角的正弦值.
试题解析：（1）依题意，以为坐标原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系
，因为
，所以
，从而
，则由
，解得
（舍去）或.
（2）易得
，
，设平面
的法向量
，
则
，
，即
，且
，所以
，不妨取
，则平面的一个法向量
，又易得
，故
，所以直线
与平面所成角的正弦值为.
考点: 1、空间两向量夹角余弦公式；2、利用向量求直线和平面说成角的正弦.
练习册系列答案
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【题目】电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性.
非体育迷 | 体育迷 | 合计 | |
男 | |||
女 | |||
合计 |
（1）根据已知条件完成下面的
列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？
（2）将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率.
附：参考公式：
.
| 0.05 | 0.01 |
| 3.841 | 6.635 |
