题目内容
【题目】已知函数,且
在
处切线垂直于
轴.
(1)求的值;
(2)求函数在
上的最小值;
(3)若恒成立,求满足条件的整数
的最大值.
(参考数据,
)
【答案】(1);(2)0;(3)2.
【解析】
(1)依题意,,由此即可求得
的值;
(2)求导,研究函数在
,
上的单调性,进而得到最值;
(3)先分析,再证明当
时满足条件即可得到
的最大值.
(1)因为在
处切线垂直于
轴,则
因为,则
,则
(2)由题意可得,注意到
,
则则
因此单调递减,
,
因此存在唯一零点使得
,则
在
单调递增,
在单调递减,
,则
在
上恒成立
从而可得在
上单调递增,则
(3)必要条件探路
因为恒成立,令
,则
因为,由于
为整数,则
,
因此
下面证明恒成立即可
①当时,由(1)可知
,则
故,设
,
则,则
在
单调递减
从而可得,由此可得
在
恒成立.
②当时,下面先证明一个不等式:
,设
则,则
在
单调递减,在
单调递增
因此,那么
由此可得
则,
因此单调递增,
,
则在
上单调递增,因此
综上所述:的最大值整数值为
.

练习册系列答案
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【题目】空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数,AQI指数值越小,表明空气质量越好,其对应关系如表:
AQI指数值 | 0~50 | 51~100 | 101~150 | 151~200 | 201~300 | |
空气质量 | 优 | 良 | 轻度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 严重污染 |
如图是某市12月1日-20日AQI指数变化趋势:
下列叙述正确的是( )
A.这20天中AQI指数值的中位数略高于100
B.这20天中的中度污染及以上的天数占
C.该市12月的前半个月的空气质量越来越好
D.总体来说,该市12月上旬的空气质量比中旬的空气质量好