Question

【题目】已知定义在上的函数，对任意，都有成立，若函数的图象关于直线对称，则

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

由y＝f（x+1）向右平移1个单位可得y＝f（x）的图象可知，函数y＝f（x）的图象关于x＝0对称，即函数y＝f（x）为偶函数，在已知条件中令x＝﹣3，可求f（3）及函数的周期，利用所求周期即可求解得到f（2013）的值．

解：∵y＝f（x+1）向右平移1个单位可得y＝f（x）的图象，

∴y＝f（x+1）的对称轴x＝﹣1向右平移1个单位可得y＝f（x）的对称轴x＝0，

∴函数y＝f（x）的图象关于x＝0对称，即函数y＝f（x）为偶函数，

∵f（x+6）＝f（x）+f（3），

令x＝﹣3，则f（3）＝f（﹣3）+f（3）

∵函数y＝f（x）为偶函数，

∴f（﹣3）＝f（3），

∴f（3）＝2f（3），则f（3）＝0

∴f（x+6）＝f（x），

∴f（x）为周期函数，且周期为6，

∴f（2013）＝f（335×6+3）＝f（3）＝0，

∴f（2013）＝0，

故选A．