题目内容
【题目】已知命题抛物线
的焦点
在椭圆
上.命题
直线
经过抛物线
的焦点
,且直线
过椭圆
的左焦点
,
是真命题.
(I)求直线的方程;
(II)直线与抛物线相交于
、
,直线
、
,分别切抛物线于
,求
的交点
的坐标.
【答案】(I);(II)
.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)通过将抛物线的焦点
代入椭圆
得
,进而椭圆的左焦点是
,计算即得结论;(Ⅱ)不妨假定点
在第二象限,通过联立直线
与椭圆方程可知
、
点坐标,利用对抛物线方程求导可知斜率,进而计算可得结论.
试题解析:(I)抛物线的焦点为
,
∵是真命题,∴将
代入
得,
.
∴椭圆方程是,它的左焦点是
.
∴直线的方程是
.
(II)不妨假定点在第二象限,由方程组
得
,
.
由得,
,所以直线
的斜率分别是
、
,
∴的方程分别是
,
.
解两个方程构成的方程组得.
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