题目内容
【题目】已知为常数,函数
.
(1)当时,求函数
的最小值;
(2)若有两个极值点
,
(
):
①求实数的取值范围;
②求证:.
【答案】(1);(2)①
,②证明见解析.
【解析】
试题分析:(1)由函数的导数的符号可知函数
在
的单调性,进而求得
的最小值;(2)①由
有两个极值点
,
(
)可知
有两个根,即得
,再令
,求
的值域即可;②要证
,即证
,
即证
,构造函数
,利用导数法求其最大值小于零即可.
试题解析:
(1),定义域为
,
,当
时,
,当
时,
,所以
.
(2)①,由于
有两个极值点,可得
有两个不同解,即
有两个不同解,令
,
,
,当
时,
,当
时,
,所以
,且
,由数形结合可得
,且
.
②要证,即证
,
,即证
,即证
,构造函数
,注意
,
,令
,注意
,
,所以
,可得
,所以
单调递增,可得
,进而
.
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