题目内容
【题目】在如图所示的圆台中,是下底面圆
的直径,
是上底面圆
的直径,
是圆台的一条母线.
(1)已知,
分别为
,
的中点,求证:
平面
;
(2)已知,
,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
试题分析:(1)证明线面平行,证明该直线所在的一个平面平行于该平面即可;(2)建立空间直角坐标系,求出两平面的法向量,代入即可.
试题解析:(1)证明:设的中点为
,连接
,
,
在,因为
是
的中点,所以
,
又,所以
.
在中,因为
是
的中点,所以
,
又,所以平面
,
因为,所以
.
(2)连接,则
,
又,且
是圆
的直径,所以
,
以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系
,
由题意得,
,过点
作
垂直
于点
,
所以,
可得.
故,
.
设是
的一个法向量,
由可得
可得
的一个法向量
,
因为的一个法向量
,
所以.
所以二面角的余弦值为
.
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