Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点为坐标原点，若椭圆与曲线的交点分别为（下上），且两点满足．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆上异于其顶点的任一点，作的两条切线，切点分别为，且直线在轴、轴上的截距分别为，证明：为定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析．

【解析】试题分析：（1）设，然后根据向量数量积求得的值，再结合离心率求得的值，由此求得椭圆方程；（2）．设点，然后根据条件求得的方程，从而求得直线在轴、轴上的截距为，进而使问题得证．

试题解析：（1）设椭圆的半焦距为，设，则，

由，得，∴，①

又椭圆的离心率为，所以，②

又，③

由①②③，解得，

故椭圆的标准方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6分

（2）如图，设点，由是的切点知，，

所以四点在同一圆上，且圆的直径为，

则圆心为，其方程为，

即，④

即点满足话中④，又点都在上，

所以坐标也满足方程，⑤

⑤-④得直线的方程为，

令，得；令，得，所以，

又点在椭圆上，所以，即中，

即，即为定值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分