题目内容
【题目】已知函数,
为自然对数的底数.
(1)求函数的单调区间;
(2)是否存在常数,使
恒成立?若存在,求出
的取值范围;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)在区间
和
内都单调递增(2)存在,
【解析】
(1)根据函数解析式,先求得导函数,并构造函数,求得
,令
,求得
的最小值,由
可判断
,进而判断函数
的单调区间;
(2)代入函数的解析式,将不等式变形并构造函数
原不等式等价于当
时,
;当
时,
.求得
,对
分类讨论即可求得
的取值范围;
(1)定义域为
函数
所以
(
且
).
设函数(
),
则.
令,解得
当时
所以
在区间
内单调递减,
当时
,所以
在区间
内单调递增.
故在
处取得最小值,且
,
故当且
时,
,即
.
所以在区间
和
内都单调递增.
(2)存在,理由如下:
代入函数的解析式,将不等式变形并构造函数
(
),
则原不等式等价于当时,
;当
时,
.(※)
求导得,其中
.
若当时,因为
,则必然存在
,使
在区间
内恒成立.
所以在区间
内单调递增,于是
,这与(※)矛盾,故舍去.
若当时,易知
在区间
单调递减.
①当时,
,所以
在区间
内单调递减.
于是,从而
在区间
内单调递减.
故对任意,都有
,满足(※).
②当时,若
,则
即在区间
内单调递增.
此时,(
).
若,由
,
及零点存在性定理知,存在
,使
,
即,且
在区间
内恒成立,
在区间
内恒成立.
即在区间
内单调递增,在区间
内单调递减.
于是当时,
(
).
故当时,
在区间
内单调递减,所以
(
),满足(※).
综上所述,存在常数满足条件,其取值范围是
.
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