题目内容
【题目】已知点在椭圆:()上,且点到左焦点的距离为3.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设为坐标原点,与直线平行的直线交椭圆于不同两点、,求面积的最大值.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)点A在椭圆上则点A的坐标满足椭圆方程,再由利用两点之间的距离公式列出方程,结合椭圆中a,b,c之间的关系即可求出a,b,c,从而求得椭圆方程;(2)设直线的方程为,与椭圆方程联立得关于y的一元二次方程,利用韦达定理求出、关于m的表达式,由弦长公式求出及点到的距离d,从而求得的面积的关于m的表达式,利用基本不等式可求得最大值.
(1)因为椭圆经过点,所以.
设(),则由得,解得.
又,于是,解得(舍负),进而.
故椭圆的标准方程为.
(2)因为,可设直线的方程为(),
代入并整理得.由得.
设、,则,.
所以.
又点到的距离,所以的面积.
故(当且仅当时取等号).
所以面积的最大值为.
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