题目内容
【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
,离心率为
,且
在椭圆
上运动,当点
恰好在直线l:
上时,
的面积为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)作与平行的直线
,与椭圆交于
两点,且线段
的中点为
,若
的斜率分别为
,求
的取值范围.
【答案】(1); (2)
.
【解析】
(1)根据点在椭圆
上运动,当点
恰好在直线l:
上时,
的面积为
,直线与椭圆方程联立,解得点
的坐标
,则有
,再由
求解.
(2)设直线的方程为
.由
可得
,由韦达定理
,求得点M的横纵坐标
,
,建立模型
,由
,得到
,或
.然后用函数法求范围.
(1)由可得
,
.
根据对称性,不妨设点在第一象限,则点
的坐标为
,
设椭圆的焦距为2c,由条件可得,
即,
由椭圆的离心率可得,
所以,
,
所以,
,
,解得
,故
.
故椭圆的方程为
(2)设直线的方程为
.
由可得
,
,即
,
所以,,或
.
设,
则.
则,
.
则,
.
当时,
,且
在
和
上的取值范围相同,
故只需求在
上的取值范围.
而在
和
上随
的增大而增大.
的取值范围是
.
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