题目内容
【题目】已知函数,
为自然对数的底数.
(Ⅰ)求曲线在
处的切线方程;
(Ⅱ)关于的不等式
在
恒成立,求实数
的取值范围;
(Ⅲ)关于的方程
有两个实根
,
,求证:
.
【答案】(1)(2)
(3)见解析
【解析】试题分析:(1)由,得
,且又
,即可求解切线方程;
(2)由题意知在
上恒成立,利用导数求解函数
的最小值,进而可求解实数
的取值范围;
(3)由,则
,令
,
得,得
恒成立,即
,
不妨设,则
,再根据(2)中的结论,即可作出证明.
试题解析:
(1)对函数求导得
,
又
曲线
在
处的切线方程为
,即
;
(2)记
,其中
,
由题意知在
上恒成立,下求函数
的最小值,
对求导得
,令
,得
,
当变化时, ,
变化情况列表如下:
0 | |||
极小值 |
,
,
记,则
,令
,得
.
当变化时, ,
变化情况列表如下:
1 | |||
0 | |||
极大值 |
,
故当且仅当
时取等号,
又,从而得到
;
(3)先证,
记
,则
,令
,得
,当变化时,
,
变化情况列表如下:
- | 0 | + | |
极小值 |
∴
,
恒成立,
即,记直线
,
分别与
交于
,
,
不妨设,则
,
从而,当且仅当
时取等号,
由(2)知, ,则
,
从而,当且仅当
时取等号,
故
,
因等号成立的条件不能同时满足,故.
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