题目内容
【题目】已知圆关于直线
对称的圆为
.
(1)求圆的方程;
(2)过点作直线
与圆
交于
两点,
是坐标原点,是否存在这样的直线
,使得在平行四边形
中
?若存在,求出所有满足条件的直线
的方程;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)存在直线
和
【解析】试题分析:(1)将圆的一般方程转化为标准方程,将圆关于直线对称问题转化为点关于直线对称问题,进而求出圆的方程;(2)先由条件判定四边形为矩形,将问题转化为判定两直线垂直,利用平面向量是数量积为0进行求解.
试题解析:(1)圆化为标准为
,
设圆的圆心
关于直线
的对称点为
,则
,
且的中点
在直线
上,
所以有,
解得: ,
所以圆的方程为
.
(2)由,所以四边形
为矩形,所以
.
要使,必须使
,即:
.
①当直线的斜率不存在时,可得直线
的方程为
,与圆
交于两点,
.
因为,所以
,所以当直线
的斜率不存在时,直线
满足条件.
②当直线的斜率存在时,可设直线
的方程为
.
设
由得:
.由于点
在圆
内部,所以
恒成立,
,
,
,
要使,必须使
,即
,
也就是:
整理得:
解得: ,所以直线
的方程为
存在直线和
,它们与圆
交
两点,且四边形
对角线相等.
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